释义
五度相生律（中国称三分损益律）三分损益法是古代中国发明制定音律时所用的生律法。根据某一标准音的管长或弦长，推算其余一系列音律的管长或弦长时，须依照一定的长度比例，三分损益法提供了一种长度比例的准则。
在欧洲因为最初由古希腊哲学家兼数学家毕达哥拉斯提出，因此通常称为“毕达哥拉斯律制”。
中国音乐有悠久的历史和独特的创造。秦以前，中国已创造了乐器和乐曲，发明了乐律。汉唐盛世，中国音乐以歌舞音乐见长；宋元以后，则以戏曲音乐为主。当今世界公认的音乐律制，如五度相生律（中国称三分损益律）、纯律和十二平均律，中国皆独立发明。
起源
今天的人们都知道，乐音的音高，是由波长所决定的，而波长又由弦长所决定。如果一个音的波长为a ；另一个音的波长是a/2 的话，那么，后一个声音就是前一个声音的“纯八度”高音。同理，如果一个声音的波长为a ，另一个声音的波长为a的两倍，即2a，那么，后一个声音就是前一个声音的“纯八度”低音。
中国古人虽然不懂得机械波的物理学理论，但是他们却总结出了跟现代发声理论完全一致的道理。一件圆径固定，长度固定的发声器所发出的声音是一个定值，如果另一件圆径相同发声器的长度是这件发声器长度的一半的话，那么，另一件发声器所发出的声音，就是一个纯八度的高音。同理，如果另一件发声器的长度是原来发声器长度的二倍，那么，另一件发声器所发出的声音，就是一个纯八度的低音。 中国古人所使用的音阶是“五声音阶”，即“宫商角 徵羽”五个音。其中，宫相当于西洋音阶的1（do），商相当于2（re），角相当于3（mi）， 徵相当于5（sol），羽相当于6（la）。
在中国古代的音乐理论中，“宫商角 徵羽”这五个音阶，相互之间的关系是怎样的呢？换言之，它们又都是怎样先后产生的呢？中国古代关于这个内容的律学理论，叫做“三分损益法”。“三分损益法”认为，“宫”是基本音，有了基本音“宫”之后，经过几次的“三分损益”，其它的四个音阶也就产生了。最迟到春秋中期，古代音乐理论“三分损益法”就已经形成了。在《国语》中，在《管子·地员篇》里，在《吕氏春秋·音律篇》中，分别记述了“三分损益法”的一些内容。《史记·律书》和《汉书·律历志》中的理论，基本上是抄录《管子》、《吕氏春秋》以及《淮南子》中的相关内容。
三分损益法的记载最早见于春秋时期《管子·地员篇》，是同关于宫、徵、商、羽、角五音的记载联系在一起的；到《吕氏春秋·音律篇》，又开始与关于黄钟、林钟等十二律长度规范的记载联系在一起。按三分损益法生律的次序 ， 求上方五度音之律 ， 古代称为“下生”；求下方四度之律，古代称为“上生”。从一律出发，下生5次，上生6次，便可得出十二律。但《吕氏春秋》只有生律方法而无具体数据，《淮南子》后者延续这个方法并计算了十二音的数据。然而这些数据于生律方法不尽相符。通过分析，可以解释《淮南子》中所呈现的这个矛盾，其实更符合书中所阐释的哲学观。过去学界认为在自先秦以来浩繁的乐律学文献中，这组数据是个孤例，1985年发现的天水放马滩秦简，则不仅为淮南律数提供了更早的源头，也反映了当时人们已经拥有的乐律学认识。
含义
三分损益包含“三分损一”、“三分益一”两层含义。三分损一是指将原有长度作3等分而减去其1份，即：原有长度×(3-1)/3=生得长度；而三分益一则是指将原有长度作3等分而增添其1份，即：原有长度×(3+1)/3=生得长度。两种方法可以交替运用、连续运用，各音律就得以辗转相生。
这两种生律方法所形成的长度关系、音程关系及其古代称呼，三分损益法与古希腊毕达哥拉所用的定律法，阿拉伯人所用的“量音学”，在数理上是相通的、一致的，近现代统称之为“五度相生法”。
“三分损益法”的基本原理是：
以一段圆径绝对均匀的发声管为基数——宫（1）；然后，将此发声管均分成三段，舍弃其中的一段保留二段，这就是“三分损一”，余下来的三分之二长度的发声管所发出的声音，就是“宫”的纯五度高音—— 徵（5）；将 徵管均分成三份，再加上一份，即 徵管长度的三分之四，这就是“三分益一”，于是就产生了 徵的纯四度低音——商（2）；商管保留三分之二，“三分损一”，于是得出商的纯五度高音——羽（6）；羽管“三分益一”，即羽管的三分之四的长度，就是角管，角管发出羽的纯四度低音——角（3）。
这样，在有了基本音“宫”之后，经过两次“三分损一”和两次“三分益一”，“宫、商、角、 徵、羽”五个音阶就生成了。宫生 徵， 徵生商，商生羽，羽生角，由于是“五五相生”，因此，乐律家们说起五个音阶来，他们不说“宫、商、角、徵、羽”，而是说成“宫、徵、商、羽、角”。
根据上述理论而得出的算式，应为计算先后程序所合的音算式：
（1） 宫 1×基本音（假设为81）=81
（2） 商 54×4/3 =72
（3） 角 48×4/3 =64
（4） 徵 81×2/3 =54
（5） 羽 72×2/3 =48
它们的实际比数是：
宫 商 角 徵 羽
81 72 64 54 48
记载中，管仲实际只相生出了宫、商、角、徵、羽五个音。继管仲之后，《吕氏春秋》的“音律篇”在管仲五音的基础上又继续相生了11次，也就是相生到“清黄钟”，使十二律的相生得到完成。但当相生到第11次（即到十二律）后的“清黄钟”时，“清黄钟”不能回到原出发律上，使十二律不能周而复始，这一问题没有得到解决。在此后的近二千年中，我国历代都有一批有识之士对这一律学问题进行了不懈地探索，“三分损益法”在各个时期都有不同的解决办法，我们当在不同时期进行介绍。
中国明代音乐家朱载堉于万历十二年（1584年）首次提出“新法密率”（见《律吕精义》、《乐律全书》），推算出以比率1:¹²√2 将八度音等分为十二等分的算法，并制造出十二平均律律管及律准，是世界上最早的十二平均律乐器。这一问题才得到解决。
“三分损益法”每制出新的律管与原律管的音高都是上方五度，再下方四度，又上方五度，再下方四度……的关系，但需要再按音高次序调整排列，才能得出十二律，所以它又叫“五度相生律”，亦有称之为“五度相生法”。《管子·地员篇》中的相生方法是先“益”后“损”。
“三分损益法”理论是世界上最早制定的“十二律”的理论，比古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯的“律制”要早一个世纪左右。
古人使用“三分损益法”，在生成“宫、 徵、商、羽、角”五个音阶之后，并没有停止下来，而是继续“损益”下去。“三分损一”，“三分益一”……在连续进行了各六次之后，共得出十二个音，就是我们音乐上所使用的一个八度之内的十二个半音。中国古人将这十二个半音音阶称为“十二律”，它们的名称分别是：黄钟（C），林钟（G），太簇（D），南吕（A），姑冼（E），应钟（B），蕤宾（#F），大吕（#C），夷则（#G），夹钟（#D），无射（#A），仲吕（#E）。
对这十二律再加以区分，分出了六个阳律和六个阴律，六个阳律称为“律”，六个阴律称为“吕”。黄钟与“三分益一”产生的为阳，六阳律即“律”包括“黄钟、太簇、姑洗、蕤宾、夷则、亡射”；用“三分损一法”产生的六阴律为“吕”，“六吕”包括“林钟、南吕、应钟、大吕、夹钟、中吕”。
最早见于公元前7世纪齐国丞相管仲《管子·地员》篇中，该书相传为春秋时管仲（约前730—前645）所著。地员是一篇研究土壤的论文，他依据2/3弦是全弦五度音的原理，在一定张力的弦上连续按2/3（损益）4/3（溢益）地方法生出上五度下四度各音，直到生出12律，这种方法为三分损益法，这种律为三分损益率。
运用
1、中国音乐体系中的五度相生律
我国近现代民族音乐学先行者王光祈先生，在他的著作中创用“调子音阶组织”的分类标准，首次提出了世界三大乐系，即“中国乐系““波斯阿拉伯乐系”“希腊乐系”。王光祈先生认为中国音乐界素喜用“五音调”，并且“此种‘五音乐制传入四邻各国，又莫不奉为准绳。因此，五音调乐制遂成为吾国音乐的固有特色。这里的“五音调”就是指依五度相生律制所生宫商角徵羽五个音组成的调子音阶。由此可见得，五度相生律虽然并不是我国古人唯一留下的艺术遗产，但其作为我国最为基础的一种律制，它早已融会进民族音乐的血液之中，深刻地影响着我国传统音乐的发展，在形成具有独特韵味的传统音乐方面具有举足轻重的作用。
以《小河淌水》为例，该曲为五声羽调式，诸多衬词的运用既是山歌的特點，又完整了乐句结构，乐句延长时遵循五度相生律的特点。曲调与歌词高度配合，旋律缓缓流动以级进为主，羽调式的选择恰到好处的表现了歌曲中饱藏的深情，包裹着柔婉的，含蓄的小阿妹的爱恋。
2、器乐中的五度相生律
我国五度相生律最早就是用管或弦作为物理计算载体而求得的律制。律学作为科学理论为制器实践提供依据，另一方面，乐器的不断改革也给予了律学理论发展的需要。可以说，我国律学与民族乐器有着不可分割的联系。在吹、拉、弹、打四类乐器中，乐器的音色、形制各异，同宗乐器还会再次分类，虽有高、中、低之分，但都用五度相生律。
以二胡为例，刘天华先生参考小提琴的音高数值，首次将二胡的空弦定音内弦为“d'”，外弦为“a'”，这种纯五度定弦与五度相生律的律制相契合，纯五度定弦还会形成泛音列，使两弦之间能够形成谐和的共振，音响上会有相互支持的音效。再如古筝、古琴等弹弦乐器也是根据五度相生律的律制来进行调音。当然，传统古筝是先依照五度相生律为调律基础，再以基准音组对其余是16根弦进行调整，最后用纯四度、纯五度、纯八度、十一度、十二度等谐和音程来检验。此外，我国管乐器也多与五度相生律相联系，如笙、箫、竹笛等。刘天华的二胡独奏曲《光明行》就是上四下五的近关系转调手法：这首作品是刘天华十大名曲之一，强调二胡的表现力和不同调式的对比。从谱例中可看出，这首作品的调式是由D—G—D上四下五度的連续转调而组成。这种转调手法在我国传统器乐作品创作中比较常见。
鉴赏
